[{"content":"离散数学 有序对和笛卡尔积 定义 1.1 (有序对).由两个元素 a, b，按照顺序组成的二元组称为有序对，记作 ⟨a, b⟩. 有序对的性质： • 有序性 $⟨a, b⟩ \\neq ⟨b, a⟩ (当a \\neq b).$ •$ ⟨a, b⟩ = ⟨u, v⟩ ⇐⇒ a = u ∧ b = v.$\n定义 1.2 (笛卡尔积). 设 A, B 为集合，A 与 B 的笛卡尔积（Cartesian product）记作 A × B，A × B = {⟨a, b⟩|a ∈ A ∧ b ∈ B}. 关系 等价关系 在我看来，等价关系类似与一些物体共同具有的某种性质，可以用其进行分类\n定义\n给定一个集合 A，\n在 A 上的一个关系 R⊆A×A\n称为 等价关系，如果它满足以下三个性质：\n性质 名字 数学形式 意思 ① 自反性 ∀a∈A,(a,a)∈R 自己和自己等价 ② 对称性 ∀a,b∈A,(a,b)∈R⇒(b,a)∈R 如果a等价b，那b也等价a ③ 传递性 ∀a,b,c∈A,(a,b)∈R∧(b,c)∈R⇒(a,c)∈R a等价b，b等价c → a也等价c 同余\n在整数集合 Z 上，给定一个正整数 n，\n我们说两个整数 a,b 模 n 同余，记作：\n$a≡b(modn)$\n意思是：\nn 能整除它们的差，即\nn∣(a−b)\n也就是说，a−b=k×n，其中 k 是整数。\n等价类\n给定一个集合 A，和一个等价关系 ∼，\n对于集合里的某个元素 a∈A，我们定义它的等价类为：\n[a]={x∈A∣x∼a}\n商集\n当我们在集合 A 上定义了一个等价关系 ∼ 之后，\n每个元素 a∈A 都属于某一个等价类：\n[a]={x∈A∣x∼a}\n然后，我们把所有这些等价类都“收集”起来，组成一个新的集合：\nA/∼={[a]∣a∈A}​\n这个集合 A/∼ 就叫做—— 商集（quotient set）\n集合的划分 定义\n等价划分\n等价关系导出\n其他次序关系 偏序关系 拟序关系 全系关系 良序关系 总结 偏序关系\u0026gt;全系关系\u0026gt;良序关系\n","date":"2025-10-28T02:12:30+08:00","image":"https://2xyyy.github.io/p/discrete_mathematics/back1_hu_ff5d3af468146d9f.jpg","permalink":"https://2xyyy.github.io/p/discrete_mathematics/","title":"Discrete_Mathematics"}]