Discrete_Mathematics

Tue, 28 Oct 2025 02:12:30 +0800

离散数学

有序对和笛卡尔积

定义 1.1 (有序对).由两个元素 a, b，按照顺序组成的二元组称为有序对，记作 ⟨a, b⟩.

有序对的性质： • 有序性 $⟨a, b⟩ \neq ⟨b, a⟩ (当a \neq b).$ •$ ⟨a, b⟩ = ⟨u, v⟩ ⇐⇒ a = u ∧ b = v.$

定义 1.2 (笛卡尔积). 设 A, B 为集合，A 与 B 的笛卡尔积（Cartesian product）记作 A × B，A × B = {⟨a, b⟩|a ∈ A ∧ b ∈ B}.

关系

等价关系

在我看来，等价关系类似与一些物体共同具有的某种性质，可以用其进行分类

定义

给定一个集合 A，
在 A 上的一个关系 R⊆A×A
称为 等价关系，如果它满足以下三个性质：

性质	名字	数学形式	意思
①	自反性	∀a∈A,(a,a)∈R	自己和自己等价
②	对称性	∀a,b∈A,(a,b)∈R⇒(b,a)∈R	如果a等价b，那b也等价a
③	传递性	∀a,b,c∈A,(a,b)∈R∧(b,c)∈R⇒(a,c)∈R	a等价b，b等价c → a也等价c

同余

在整数集合 Z 上，给定一个正整数 n，
我们说两个整数 a,b 模 n 同余，记作：

$a≡b(modn)$

意思是：

n 能整除它们的差，即

n∣(a−b)

也就是说，a−b=k×n，其中 k 是整数。

等价类

给定一个集合 A，和一个等价关系 ∼，
对于集合里的某个元素 a∈A，我们定义它的等价类为：

[a]={x∈A∣x∼a}

商集

当我们在集合 A 上定义了一个等价关系 ∼ 之后，
每个元素 a∈A 都属于某一个等价类：

[a]={x∈A∣x∼a}

然后，我们把所有这些等价类都“收集”起来，组成一个新的集合：

A/∼={[a]∣a∈A}

这个集合 A/∼ 就叫做—— 商集（quotient set）

集合的划分

定义

等价划分

等价关系导出

其他次序关系

偏序关系

拟序关系

全系关系

良序关系

总结

偏序关系>全系关系>良序关系

Study on 困了要睡觉-xyyy